高阶微分方程(8)

时间:2025-07-11

x (x2 yux y2)

uy32

(18)

3

(x2

y2)

2

其中 u

GmS

用y乘以(18)的第一式,用x乘以(18)的第二式,相减得:

d

dt

(yx xy ) 0 由此可得一个首次积分 yx

xy c4 用

zx

乘以(18)的第一式,用zy 乘以(18)的第二式,相加得: zx x zy y

zu(xx

yy )3

(x2 y2)2

d1

即 dt(x 2 y 2) 2uddt

(x2 y2

) 2 x 2 y 2 2u(x2 y2

1

由此又得到一个首次积分

)2

c5 为讨论方便,引进极坐标

x rcos ,y rsin

,那么

x (drd cos rsin )d dt y (drd sin rcos )d

dt

代入(19)得 r2

d

dt

c4 即有 12d 2r

dt 1

2

c4 19) 20)

21)

22) ((((

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