高阶微分方程(8)
时间:2025-07-11
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x (x2 yux y2)
uy32
(18)
3
(x2
y2)
2
其中 u
GmS
用y乘以(18)的第一式,用x乘以(18)的第二式,相减得:
d
dt
(yx xy ) 0 由此可得一个首次积分 yx
xy c4 用
zx
乘以(18)的第一式,用zy 乘以(18)的第二式,相加得: zx x zy y
zu(xx
yy )3
(x2 y2)2
d1
即 dt(x 2 y 2) 2uddt
(x2 y2
) 2 x 2 y 2 2u(x2 y2
1
由此又得到一个首次积分
)2
c5 为讨论方便,引进极坐标
x rcos ,y rsin
,那么
x (drd cos rsin )d dt y (drd sin rcos )d
dt
代入(19)得 r2
d
dt
c4 即有 12d 2r
dt 1
2
c4 19) 20)
21)
22) ((((
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