高阶微分方程(4)

其中负号的力学意义：T与号。

x的方向总是相反的(|x| )，即T与sinx异

2

由牛顿第二定律，即可得单摆的运动方程为：m(l)

dt2

mgsinx 或写

成 2

dt

a2sinx 0 （6） 2

其中常数a

0

2

v ,2 v,则得 dtdtdx

方程（6）为自治方程，可以用上述方法降阶，令

2 或写成v asinx 0dx

dv2

2

a2sinxdx

这是一个为函数为自变量的一阶微分方程，积分得

2v2 a2cosx c，上式可改写为 2acosx c1

1dt（7）

分离变量积分得

vx

2acosx c1

t c2

上式出现了椭圆积分，为了克服这一困难，我们可以利用的泰勒级数sin时，sin

sinx

x3 x5 x7 线性化。即当|x|很小x x 2dt2

x x，可用线性方程 a2x 0 （8）

来代替方程（6）。

dxdxd2x2dx ax 0 对于方程（8），以乘以方程（8），即得2

dtdtdtdt

对它可以直接积分，得

dx21dx212212

() a2x2 c12 () ax c1 （c1 0） 或 dt2dt22

于是有

dx

c12 a2x2 dt

1ax

) t c2 ac1

分离变量积分得通积分