高阶微分方程(6)

d2yds

s a为了消去，将上式求导得 2

dxdx

dydy2dsdy

()2 代入得 2 a () 而 （10）

dxdxdxdx

此方程是一个二阶的自治系统，令z y'，则方程（10）降为一阶方程

dz

a z2，分离变量积分，得 ln|z z2| ax c1 dx

2

因为当x 0时，z y' 0，代入得c1 0 从而得 ln|z z2| ax 即 z由此又可得 z

z2 eax （11）

z2 e ax （12）

1ax

(e e ax) 2

（11）+（12） 得z 即

dy1ax

(e e ax) dx2

积分，得 y

1ax

(e e ax) c2 2a

若把x 轴取在合适的位置，使当于是所求悬链线方程为y

x=0 时 y 1 代入 得 c2 0

a

1ax1

(e e ax) chax 2aa

例3 二体问题

天体运动中的二体问题是历史上一个著名的问题，牛顿早在发明微积分的同时，就研究了二体问题。

假设太阳是静止的，它的质量为mS，地球的质量为mE，由于太阳系中除太阳外所有行星的总质量远小于mS，因此我们可以忽略别的行星的作用。现把坐标系的原点取在太阳S上，这就构成了一惯性坐标系，地球E的坐标向量为

r(t) (x(t),y(t),z(t))，则E的速度和加速度分别为

(t) (x (t),y (t),z (t), (t), (t)) (t)) rr (t) ( xyz

由牛顿第二定律

F ma

，则地球的惯性力为