高阶微分方程(5)

由此求得通解 x Asin(at D) （9）

c1

0 D其中 A a

由通解（9）可见，当当

ac2 是两个任意常数。

dx

0 ； dt

A 0时，得到单摆的静止状态：x 0 v

A 0时，单摆将以A为振幅，a为频率作简谐振动。

2 l

2 ag

由（9）可知，单摆将作周期振动，而且周期T

由此说明，单摆的振动周期只与单摆的长度l和重力加速度g有关，而与初始条件无关。这就是所谓单摆振动的等时性。老式的单摆钟就是利用了这种“等时性”。

例2 悬链线方程

设一理想的柔软而不能伸缩的细线，将两端挂在支点A和B上，由于受重力的作用，自然弯曲，试求悬链线的形状 y y(x)。

这个问题是历史上的名题，最初1690年由詹姆斯 贝努里提出来，伽里略曾猜想这条曲线是抛物线，但是后来发现不对，最后由约翰 贝努里解决了，莱布尼兹把它命名为悬链线。下面就来解决这一问题。

设在xy平面上，悬链线的最低点为M，过M作垂直线为y轴，在上取一点

O，OM的长度后面再确定，过O点，取与y轴垂直的直线为x轴（如图）

对于曲线AB是任意一点P，在MP弧段上T,H为张力，W为重力。由于MP处于平衡状态，则有

Tcos H,Tsin W 0s 0为单位长度的重量，消去T，得 tan

s为MP弧长。

0s

H

令

0

H

a 则有

dy

as dx