高阶微分方程(2)

§4 解对初值和参数的连续可微性

一、【内容简介】

本节主要讨论解对初值和参数的连续可微性。如上一节一样，只考虑方程的解对参数的连续可微性。

二、【关键词】 连续可微性；变分方程 三、【目的与要求】

与上一节一样，解对初值和参数的连续可微性揭示了微分方程的重要性质，要求弄清它的含义并正确地理解便于今后的应用。

四、【教学过程】 教学过程

前面我们主要讨论的是关于一阶方程的几个初等解法，在实际应用中，大多数微分方程是高阶的。二阶以及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。对于高阶微分方程没有较为普遍的解法，下面我们通过例题介绍几种高阶微分方程的解法。这些解法的基本思想就是把高阶微分方程通过某些变换降为低阶的微分方程。

§1 几个例子

若方程不明显包含字变量，即：

F(y,y', ,y(n)) 0 （1）

'

(n)

这类方程叫作自治（或驻定）微分方程。

若方程明显包含字变量，即：

F(x,y,y, ,y

dy，则 ) 0 （2）

这类方程叫作非自治（或非驻定）微分方程。

对于（1）可考虑降阶。令

z

d2ydy z dxdydxdydx2

d3ydydy 3 dx(zdy) zdy(dy) dx dy dy dx dx

22)2 z z( dydy2 n 1dny) (z,, , nn 1dydxdy