高阶微分方程(9)

12

注意在dt时间内向量r扫过的扇形面积为rd

2

12d 的面积为r

2dt

，故向量r在单位时间扫过

。这样就得到了开普勒第二定律：从太阳到行星的向量在单

位时间内扫过的面积是常数。

dr2d 22u2

) r]() c5 将（21）代入（20），得：[(d dtr

即 (

dr2d 22u

) (r) c5 （23） dtdtr

注意到（22）式有

c422udr2d 22u

() c5 (r) c5 2 dtdtrrr

u2c422uu2u2c4u2

c5 () 2 2 c5 () ( )

c4rrc4c4rc4

为使上式有意义，我们设c5 (

drr2 再利用（22），推得d c4

cdruuu2

c5 ()2 (4 )2 ) 0因此有dtc4rc4c4c5 (

cu2u

) (4 )2 c4rc4

d(

从而得

c5 (

c4

)cu2u) (4 )2c4rc4c4u rc4

d

积分得arccos

c5 (

u2)c4

0

2

cc4

0,e 4其中 0为任意常数，若又记p

uu

c5 (

u2

) 0 c4

则可得行星运行轨道方程r

p

(24)

1 ecos( 0)