e

当a≥g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.

2

(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，

则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1. 同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2. 故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．

1

由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；

2e

当a≥g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．

21ea<.

22

此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增． 因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有 g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0. 由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，

则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0， 解得e－2<a<1.

当e－2<a<1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))． 若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])，

从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0. 又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.

故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.

由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增． 所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)<f(1)＝0， 故f(x)在(x1，x2)内有零点．

综上可知，a的取值范围是(e－2，1)．

4 函数的奇偶性与周期性

x2＋1，x>0，

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ 则下列结论正确的是( )

cos x， x≤0，

A．f(x)是偶函数

B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数

D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；

当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；

当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]；

∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．