15．，[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“ b∈R， a∈D，f(a)＝b”； ②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；

③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x) B；

x

④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.

x＋1

其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)

15．①③④ [解析] 若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．

取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．

当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0 [－M，M]，故③正确．

x

对于f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要

x＋1x

使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝ (x＞－2)．

x＋1

111

－，，所以存在正数M＝f(x)∈[－M，M]，故④正确． 易知f(x)∈ 22221．，[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28 为自

然对数的底数．

(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围． 21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b. 所以g′(x)＝ex－2a.

当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．

1

当a≤g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，

2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b； e

当a≥g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，

2因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；

1e

当<a<g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调22递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，

于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.

1

综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；

21e

当<a<g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b； 22