3

2

1C

P D

B A

证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3

∴∠C ＝∠DPB ，

∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD

3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时．

如图，则有△ACP ∽△BP D ．

321C

D

B

A P

证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3

∴∠C ＝∠BP D ．

∵∠1＝∠2，∴∠P AC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ．

例题讲解

例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．

（1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值；

（2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α．

①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）．

②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1S 2的表达式．