21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a. 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组

x1 x2 x3 0 x 2x ax 0 123

2

x1 4x2 ax3 0 x 2x x a 1

23 1

其系数矩阵

1

1

1 1 1 0 0 0

112a4a221

0 1 0 0

00

a 1 0110

1a 10

. 2

3a 10

10a 1

110

1a 10

. 01 aa 1

0(a 1)(a 2)0

110 1

1a 10 0

2

00a 3a 20

01 aa 1 0

显然，当a 1,a 2时无公共解.

, 1,k为任意常数； 当a 1时，可求得公共解为 k 1,0 , 1. 当a 2时，可求得公共解为 0,1

【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.

完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.

22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.

535353

【详解】（I）B 1 A 4A E 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 2 1，

T

T

则 1是矩阵B的属于－2的特征向量. 同理可得

5353

B 2 2 4 2 1 2 2，B 3 3 4 3 1 3 3.

所以B的全部特征值为2，1，1

设B的属于1的特征向量为 2 (x1,x2,x3)，显然B为对称矩阵，所以根据不

同特征值所对应的特征向量正交，可得

T

1T 2 0.

即 x1 x2 x3 0，解方程组可得B的属于1的特征向量