2007年考研数学(三)真题解析(8)

再利用罗尔定理，可得 存在 ( 1, 2)，使得F ( ) 0，即f ( ) g ( ). （2）若f(x),g(x)在(a,b)内不同点c1,c2取得最大值，则f(c1) g(c2) M，于是 F(c1) f(c1) g(c1) 0,F(c2) f(c2) g(c2) 0， 于是由零值定理可得，存在c3 (c1,c2)，使得F(c3) 0 于是由罗尔定理可得，存在 1 (a,c3), 2 (c3,b)，使得

F ( 1) F ( 2) 0.

( ). 再利用罗尔定理，可得 ，存在 ( 1, 2)，使得F ( ) 0，即f ( ) g

【评注】对命题为f

(n)

( ) 0的证明，一般利用以下两种方法：

(n 1)

方法一：验证 为f(x)的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马

定理可得证；

方法二：验证f

(n 1)

(x)在包含x 于其内的区间上满足罗尔定理条件.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济

类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.

20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法. 【详解】f(x)

111 11

，而

x2 3x 4(x 4)(x 1)5 x 4x 1

n

1111 x 1 (x 1)n

n 1, 2 x 4， x 1x 431 3n 0 3 3n 0

3

1111 x 1 ( 1)n(x 1)n

, 1 x 3 ， x 121 2n 0 2 n 02n 1

2

1(x 1)n ( 1)n(x 1)n( 1)n

n 1 n 1 (x 1)n， 所以 f(x) n 1n 1

322 n 0n 0n 0 3

n

收敛区间为 1 x 3.

【评注】请记住常见函数的幂级数展开.

完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.