垃圾中转站设立数学建模参赛作品(附程序)(4)

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60°=∠ABA1, △CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B 同理可得∠CBP=∠CA1P

由∠PA1B+∠CA1P=60°，得∠PCB+∠CBP=60°,所以∠CPB=120度 同理,∠APB=120°，∠APC=120° (2)PA+PB+PC=AA1

将△BPC以点B为旋转中心旋转60°与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60° 又∠BPA=120°，因此A、P、D三点在同一直线上，

又∠CPB=∠A1DB=120°，∠PDB=60°，∠PDA1=180°，所以A、P、D、

A1四点

在同一直线上，故

PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC最短

在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转

60°与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。

【费马点模型的建立】

A、B、C三点坐标已知，分别为（xA，yA）、（xB，yB）、（xC，yC）,求解费马点P（x,y）的坐标，求解过程如下（1）（2）（3）三步所示：

C

（1） 先求解出E点坐标（xE，yE），E点坐标的求解如下图片所示：