第九章 分 式

一、知识总结

（一）分式及其性质

1、分式

（1）定义：一般的，如果a，b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子

1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2、解法：

整式方程 1）基本思路：分式方程

2）转化方法：方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。

转化

a

叫做分式；其中a叫做分式的 整式方程 解整式方程 检验 3）一般步骤：分式方程

通过转化方法

b

分子，b叫做分式的分母。

（2）有理式：整式和分式统称为有理式。

（3）分式=0 分子=0，且分母≠0 （分式有意义，则分母≠0） （4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。 2、分式的性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 即：

aa ma m

b b m

b m

（a，b，m都是整式，且m 0） 分式的性质是分式化简和运算的依据。

3、约分：把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。 注：约分的结果应为最简分式或整式。 约分的方法：

1）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数， 再找相同字母最低次幂；

2）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。

（二）分式运算

1、分式的乘除

1）分式乘法法则：两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即：

acac

b d

bd

2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 即：

ab cd ab dc

ad

bc

3）分式乘方法则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。即： a n

b an a n

1n

bn ， b

ab

2、分式的加减

1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即：

aca c

b b

b

b 0 2）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减， 即：

acadbcad b d bd bd bc

bd

bd 0

（三）分式方程

注： 检验的是必不可缺的关键步骤，检验的目的是看是否有增根存在。

（四）分式应用

列分式方程解决实际问题的一般步骤：审题 设未知数，找等量关系 列方程

检验（①是否有增根，②是否符合题意） 得出答案

二、分式解题中常用的数学思想和技巧

1、已知

1x 12x-3xy 2yy 5，求x 2xy y

的值。 （整体思想、构造法） 、已知x43x2-5y 3，求xy 2y2

22x2 3xy-5y

2

的值。 （整体思想、构造法） 3、已知abc 1，求

a1 a ab b1 b bc c

1 c ca

的值。

4、已知1a 1b 16，1b 1c 19，1c 11abc

a 15，求ab bc ac

。

（先得到111

a b c

的值，然后按第1题方法做）

5、已知x2 1x 4，求x x22

1 11x

2的值。 （提示：x x x） 6、已知

b cc aa babc

a b c，求a bb ca c的值。 （提示：参数法） 7、已知xx2-x 1 1，求x2

x4 x2 1

的值。 （倒数求值法）

8、已知x2

-5x 1 0，求x4

12

x

4

的值。 （提示：由x-5x 1 0得x 1x 5） 已知4x-3y-6z 0，x 2y-7z 0，求5x2 2y2-z2

9、2x2-3y2-10z

2

的值。