第六章 实 数

一、知识总结

（一）平方根与立方根

1、平方根

（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。 （2）表示：非负数a的平方根记作±a ，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数）

（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数的没有平方根。 （4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。

Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、 开平方与平方互为逆运算。 2、算术平方根

（1）定义：正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。 （2）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性； 即：a≥0恒成立。

（2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0； 负数的没有算术平方根。 3、立方根：

（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。 （2）表示：a的立方根记作a，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数） （3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。

3、a b ab a

aa

b 0 bb

三、典题练习

1、的平方根是 ； -3 的算术平方根是；-32的立方根是。

2

2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个 有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是 。

3、一个自然数的算术平方根是x，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是 。

4、下列各数中一定为正数的是 （填序号）

① x ② x 1 ③x2 ④ x 1 ⑤ x 1 5、当x<-1时，x2，-x,-x3和

6、比较下列各组数的大小

1 2-3与2-2 2 17 3 3与2 4 -

1

的大小关系 。 x

4511与- 2 7

（二）实数

1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）

2、实数：有理数和无理数统称为实数。 3、实数分类：（1）按定义分（略） （2）按正负性分（略） 4、实数与数轴上的点一一对应。 5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）

6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。 7、实数大小：（1）正数> 0 > 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。 实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法²²²²²²

7、7-2的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 。 8、已知x 3，y为4的平方根，xy 0，求x+y的值。 9、已知x 3

10、如果一个非负数的平方根为2a-1和a-5，则这个数是 。

11、a为的整数部分，b为的小数部分，则a+2b的值为 。

12、若2011-a a-2012 a，试求a-2011的值。（提示：找出题中的隐含条件）

2

y-2 0，求x+y的平方根。

2

二、解题实用

1、2 1.41421 1.732 5 2.236 2、a a

2

a a

2

a

3

a a

3