高考数学

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2）假设当n k（k≥2）时，ak k. 那么当n k 1时，ak 1 2ak 1 ak 1 2ak 1 k 1

[ak 1 (k 1)][ak 1 (k 1)] 0， ∵ak 1 0，k≥2，∴ak 1 (k 1) 0， ∴ak 1 k 1. 这就是说，当n k 1时也成立， ∴an n（n≥2）. 显然n 1时，也适合.

故对于n∈N*，均有an n. 9分 证法二：猜想：an n， 4分 1）当n 1时，a1 1成立； 5分 2）假设当n k时，ak k. 6分

那么当n k 1时，2S22k 1 ak 1 k 1.∴2(ak 1 Sk) ak 1 k 1， ∴a2k 1 2ak 1 2Sk (k 1

) 2ak 1 (k2 k) (k 1) 2a2k 1 (k 1) （以下同证法一） 9分 （Ⅲ）证法一：要证nx 1 ny 1≤2(n 2)，

只要证nx 1 2(nx 1)(ny 1) ny 1≤2(n 2)， 10分

即n(x y) 2 2n2

xy n(x y) 1≤2(n 2)， 11分

将x y 1代入，得2n2

xy n 1≤n 2，

即要证4(n2xy n 1)≤(n 2)2，即4xy≤1. 12分 ∵x 0，y 0，且x y 1，∴xy≤x y1

2 2

, 即xy≤

1

4

，故4xy≤1成立，所以原不等式成立. 14分 1

n证法二：∵x 0，y 0，且x y 1， ∴nx 1 n

nx 12

1≤2

当且仅当x

1

2

时取“ ”号. 11分 ny 1 n

∴ny 1 n1

2 1≤2 ② 当且仅当y 1

2

时取“ ”号. 12分

①