分析：（1）由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由S△ABC=AB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入求解即可；

（2）先根据点B、C的坐标求出直线BC的解析式，在设出点M的坐标，从而求出MH的解析式，根据抛物线的对称轴x=2得到直线MH与对称轴的交点D的坐标，求出DP的长度，然后根据S△PMH= S△PMD+S△PDH，列式得到关于t的二次函数，最后根据二次函数的最值问题解答即可；

（3）存在．根据抛物线的解析式设出点E的坐标，然后根据二次函数的对称性求出点E到对称轴的距离，再根据以EF为直径的⊙Q与x轴相切，则点E到x轴的距离等于点E到对称轴的距离相等，然后列出方程，再根据绝对值的性质去掉括号解方程即可，从而得到点E的坐标． 解答：解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|， 设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m， 由S△ABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，

解得m=1（舍去负值）， ∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）， 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1， ∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），

2

即y=x﹣4x﹣5；

（2）∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴直线BC的解析式为：y=x﹣5， ∵点M的运动时间为t， ∴M（0，﹣2t），

∵直线MH平行于直线BC， ∴直线MH为y=x﹣2t，

设直线MH与对称轴交于点D，点D的坐标为（2，2﹣2t）， ∴DP=（2﹣2t）﹣（﹣3）=5﹣2t，

∴S△PMH=×2t（5﹣2t）=﹣2t+5t=﹣2（t﹣）+∴当t=时，S有最大值是

（3）∵抛物线的解析为y=x﹣4x﹣5，

2

∴设点E的坐标为（x，x﹣4x﹣5），

22

2

，（0＜t＜），

；