（3）问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长2为底，边心距为高，可求正n边形的面积，然后由P点向正n多边形，又可把正n边形分割成n过三角形，以边长为底，以r1、r2、…、rn为高表示面积，列出面积的等式，可求证r1+r2+…+rn为定值． 解答：解：（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D， ∴∠ABD=90°，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=2，∠ABC=60°， ∴∠BAD=30°，

∴BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得 ∴AD=

∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC． ∴AB r1+BC r2+AC r3=BC×AD， ∵BC=AC=AB，

∴r1+r2+r3=AD． ∴r1+r2+r3=

（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=2． ∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，

∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形， ∴PE=AH，PF=BE，PG=HD，PH=AE，

∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4． 故答案为4．

（3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2， ∴S正n边形=

．

∵S正n边形=×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn， ∴×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn=∴r1+r2+…+rn=nr（为定值）．

×n，