高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解

xt′2+ yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，

l=4 2xt′+yt′dt=4

2 3asintcostdt

0 0

=12a 142 22tdt =6a 2 sin2tdt =[3a( cos2t)]2

=6a． 0

009． 求对数螺线r=eaθ相应θ=0到θ=φ的一段弧长．

解：l= φ 0r+r′dθ = φ

e+aedθ

=1+aaeaφ

1)．

10． 求半径为R，高为h的球冠的表面积．

解：D=2 R

R hx1+x′dy

=2 2

Rcosθ(Rcosθ)′+(Rsinθ)′dθ

arcsinR h

R

=2 2

R2cosθdθ

arcsinR h

R

=2 R2[sinθ]

2arcsin

R h

R

=2 Rh．

11． 求曲线段y=x3(0 x 1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．

解：D=2 1

0y1+y′dx

=2 1

x31+9xdx 3

1 = 18243(1+9x)2 0

=

27

1010 1)． 12． 把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·6·dx