高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解

令L′(x)=0得x=1，x=11．

又当x=1时，L″(x)=－2x+12>0．当x=11时L″(x)<0，故当x=11时利润取得最大值．且最大利润为

L(11)=

11

( x2 12x 11)dx 50

13341 [ x3 6x 11x]11 50 111. 0

333

20． 设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x（百台）的边际成本为C′(x)（万元/

百台），边际收入为R′(x)=7－2x（万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？

(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？ 解：(1) 当C′(x)=R′(x)时总利润最大． 即2=7－2x，x=5/2(百台)

(2) L′(x)=R′(x)－C′(x)=5－2x．

在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为

ΔL(x)=

(5 2x)dx 5x x

2

75 1．

即此时总利润减少1万元.

21． 某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期． 解：投资20年中总收入的现值为

y 800e 5%tdt

200

(1 e 5% 20)

0 5%

400(1 e 1) 2528.4 (万元)

20

纯收入现值为

R=y－800=2528.4－800=1728.4(万元)

收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有

200

(1 e 5% T) 8005%

12005T ln =20ln =4.46 (年).

5%200 800 5%4

22． 某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？ 解：设每年以均匀流方式存入x万元，则

5=

10

xe(10 t)0.05dt

即 5=20x(e0.5 1)

x

14(e

0.5

1)

≈0.385386万元=3853.86元．