高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解

(4)

（5） 抛物线y=x2和y= x2 2；

2

解：解方程组 y=x y= x2

2

得交点 (1，1)，( 1，1) D= 1

x2 ( x2+2 )dx=4 1

( x2

+1=8

1

)dx3

(5)

（6） y=sinx，y=cosx及直线x=π4，x=9

4

π；

5 5

解：D=2 4

(sinx cosx)dx =2[ cosx sinx]4

=42．

44

(6)

（7） 抛物线y= x2+4x 3及其在(0， 3)和(3，0)处的切线；解：y′= 2x+4． ∴y′(0)=4，y′(3)= 2． ∵抛物线在点(0， 3)处切线方程是y=4x 3 在(3，0)处的切线是y= 2x+6 两切线交点是(3

2

，3)．故所求面积为

(7)

高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解

2

dx 3 2x 6 x2 4x 3 dxD 4x 3 x 4x 3

2

3

20320

3

x2dx 3 x2 6x 9 dx

2

3

9 .4

（8） 摆线x=a(t sint)，y=a(1 cost)的一拱 (0 t 2 )与x轴； 解：当t=0时，x=0, 当t=2 时，x=2 a． 所以

S

2πa

ydx a 1 cost da t sint

2π

2π

a2

1 cost

2

dt

3πa2.

(8)

（9） 极坐标曲线 ρ=asin3φ； a2 2

解：D=3D13sin3φdφ

2

3a2 1 cos6φ= ·3 φ 2 2

=

3a 13

·φ φ 4 6

2

a2=． 4

(9) （10） ρ=2acosφ；

4a2·

解：D=2D1=2 2·cos2φdφ

02

1 cos2φdφ =4a 2

2 0

2

112

=4a2 φ+sin2φ

2 2

1

=4a2 a2．

22

(10)

2． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1） r=a(1+cosθ)及r=2acosθ

;