高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解

(16)

对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的A aB b半轴为： x1=A y，同理可得该椭圆的另一半轴为： x2=B ．

hh

故该椭圆面积为

A a B b

A(y)= x1x2= A B y

h h 从而立体的体积为

A A ay B B by dy V= Aydy= () 0h h 0

h

h

1

=h[bA+aB+2(ab+AB)] . 6

6． 计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图

17.

(17)

解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．

过区间[ R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于

A(x)=

3

2y)2=y2=3(R2 x2) ( R≤x R) 4

R

从而该立体的体积为

V= =

R

A(x)dx= 3(R2 x2)dx R R

433

R． 3

7． 求下列曲线段的弧长： （1） y2=2x ，0≤x≤2；

1解：见图18，2yy′=2． y′=

y∴1+y′2=1+

1

从而 yl=2 0

=2

2

2

(18)

2

1+y′dx=21+dx y

02

21y

1+yd =2 1+ydy 2 0y0

高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题五答案详解

=y1+y+ln(y+1+y) 2

0=25+ln(2+5)

（2） y=lnx，3≤x≤8； 解：l=

1+y′dx=

1+

3

xx 3

=

1+x1+1+x13 3

xdx= 1+x lnx=1+3

2ln2．

x（3） y=

costdt, ≤t≤

22；

2

解：l= 2 1+y′ dx= 2

1+cosxdx

2

2

= 2

2cosx 2x=42 2cosxx2d

022

=42sinx2

2 =4.

8． 设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求 （1） 星形线所围面积； （2） 绕x轴旋转所得旋转体的体积； （3） 星形线的全长．

解：(1)D=4 a

ydx=4 asin3td0

(acos3t) 2

=12a2

2sin4tcos2

tdt

=12a2

2sin4t sin6

t)dt =328a．

(2)Vax=2 y2

dx =2 (asin3t)2d(acos3t0

) 2

=6 a3

72

2 sintcostdt

=

323

105

a (3)xt′= 3acos2tsint

yt′=3asin2tcost