数列典型习题及解题方法

an 1 a1 (an 1 an) (an an 1) (a2 a1)

22222 ()n ()n 1 ()2 2[1 ()n] 33333

2n

注意到a1 1,可得an 3 n 1(n 1,2, )

3n2n 1

记数列{n 1}的前n项和为Tn，则

3

222222

Tn 1 2 n ()n 1,Tn 2 ()2 n ()n

3333331222222

两式相减得Tn 1 ()2 ()n 1 n()n 3[1 ()n] n()n,

3333333

2n2n(3 n)2n

故Tn 9[1 ()] 3n() 9

333n 1

n 1

3(3 n)2

从而Sn a1 2a2 nan 3(1 2 n) 2Tn n(n 1) 18

23n 1

例5．在直角坐标平面上有一点列Pn位于函1(x1,y1),P2(x2,y2) ,Pn(xn,yn) ，对一切正整数n，点P数y 3x

135

的图象上，且Pn的横坐标构成以 为首项， 1为公差的等差数列 xn 。 42

⑴求点Pn的坐标；

⑵设抛物线列c1,c2,c3, ,cn, 中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，

111

。

k1k2k2k3kn 1kn

⑶设S x|x 2xn,n N,n 1 ,T y|y 4yn,n 1 ，等差数列 an 的任一项an S T，其中a1是S T中的最大数， 265 a10 125，求 an 的通项公式。

53

解：（1）xn (n 1) ( 1) n

2213535

yn 3 xn 3n , Pn( n , 3n )

4424

2n 3212n 5

) , （2） cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn. 设cn的方程为：y a(x 24

22

把Dn(0,n2 1)代入上式，得a 1， cn的方程为：y x (2n 3)x n 1。

11111

( ) kn y'|x 0 2n 3，

kn 1kn(2n 1)(2n 3)22n 12n 3

1111111111

[( ) ( ) ( )]

792n 12n 3k1k2k2k3kn 1kn257

11111

) =(

252n 3104n 6

（3）S {x|x (2n 3),n N,n 1}，

T {y|y (12n 5),n N,n 1} {y|y 2(6n 1) 3,n N,n 1} S T T,T中最大数a1 17.

且过点Dn(0,n2 1)，记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：