数列典型习题及解题方法

五、公式法

若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列 an 的通项an可用公式

Sn n 1

求解。 an

S S n 2n 1 n

例5：已知下列两数列{an}的前n项和sn的公式，求{an}的通项公式。 （1）Sn n3 n 1。 （2）sn n2 1

解： （1）a1 S1 1 1 1

a 3n=Sn Sn 1=(n3 n 1) (n 1) (n 1) 1

=3n2 3n 2

此时，a1 2 S1。∴an=3n2 3n 2为所求数列的通项公式。 （2）a1 s1 0，当n 2时

an sn sn 1 (n2 1) [(n 1)2 1] 2n 1 由于a1不适合于此等式 。 ∴a 0

(n 1)n

2n 1(n 2)

注意要先分n=1和n 2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 例6. 设数列 an 的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系

3tSn (2t 3)Sn 1 3t(t 0,n 2,3,4, )

求证：数列 an 是等比数列。

解析：因为3tSn (2t 3)Sn 1 3t(t 0,n 2,3,4, ) (1) 所以3tSn 1 (2t 3)Sn 2 3t(t 0,n 2,3,4, ) (2) (1) (2)得：

3t（Sn Sn 1) (2t 3)(Sn 1 Sn 2) 0(t 0,n 2,3,4, ) 3taa2t 3

n (2t 3)an 1 0 na (n 2,n N)

n 13t

例7.已知数列 an 的前n项和Sn与an的关系是 Sn ban 1

1

(1 b)

n

，其中b是与n无关的常数，且b 1。求出用n和b表示的an的关系式。

解析：首先由公式：a Sn n 1

n Sn

Sn 1 n 2得：

所以，数列 an 是等比数列。

六、阶差法