数列典型习题及解题方法

八、

辅助数列法

有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。

21

an 1 an，求an。 33

211

解析：在an 2 an 1 an两边减去an 1，得an 2 an 1 (an 1 an)

333

1

∴ an 1 an 是以a2 a1 1为首项，以 为公比的等比数列，

3

1n 1

∴an 1 an ( )，由累加法得

3

例9.在数列 an 中，a1 1，a2 2，an 2

an=(an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1

13

13

n 2

( )n 3 =( )

1

1 ( )n 1

131n 1 ( ) 1 1==[1 ( )] 1

13431 3

=

731n 1 ( ) 443

例10.（2003年全国高考题）设a0为常数，且an 3n 1 2an 1（n N*）， 证明：对任意n≥1，an

证明：设，an t 3n 2(an 1 t 3n 1) 用an 3n 1 2an 1代入可得t

1n

[3 ( 1) 2n] ( 1)n 2n a0 5

1 5

3n

∴ an

5

是公比为 2，首项为a1 3的等比数列，

5

3n3

(1 2a0 ) ( 2)n 1（n N*）∴ an ， 553n ( 1)n 1 2n

( 1)n 2n a0 即：an

5

型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等.

(1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。 例11：已知数{an}的递推关系为an 1 2an 1，且a1 1求通项an。

解：∵an 1 2an 1 ∴an 1 1 2(an 1) 令bn an 1