数列典型习题及解题方法

易得 bn=

42n 142

() 3 即 2nan= ()n 1 3 3333

23

∴ an= n n

32

(3) f(n)为等差数列

例15.已知已知数列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。 解：∵ an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2

n,n是奇数

因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), ∴ an= 。

n 2,n是偶数

注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。

(4) f(n)为非等差数列，非等比数列

例16.（07天津卷理）在数列 an 中，a1 2，an 1 an n 1 (2 )2n(n N )，其中 0． （Ⅰ）求数列 an 的通项公式；

解：由an 1 an n 1 (2 )2n(n N )， 0，

2 可得n 1

an 1

n 1

2

n 1，

an

n

nn

an 2 an 2

所以 n 为等差数列，其公差为1，首项为0，故 n 1，所以数列 an 的通项公式

n

为an (n 1) n 2n．

这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

九、归纳、猜想

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

例17.（2002年北京春季高考）已知点的序列An(xn,0),n N*，其中x1 0，x2 a(a 0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点， ，An是线段An 2An 1的中点，

（1） 写出xn与xn 1,xn 2之间的关系式（n 3）。

（2） 设an xn 1 xn，计算a1,a2,a3，由此推测 an 的通项公式，并加以证明。 （3） 略

解析：（1）∵ An是线段An 2An 3的中点， ∴xn （2）a1 x2 x1 a 0 a，

xn 1 xn 2

(n 3) 2