数列典型习题及解题方法

a2 x3 x2

x2 x111

x2= (x2 x1) a，

222x3 x211

x3= (x3 x2) a，

242

a3 x4 x3

1

2

n 1

猜想an ( )a(n N*)，下面用数学归纳法证明

10 当n=1时，a1 a显然成立；

1

20 假设n=k时命题成立，即ak ( )k 1a(k N*)

2

则n=k+1时，ak 1 xk 2 xk 1

xk 1 xk11

xk= (xk 1 xk) ak

222

1

2

k 1k

=( )( )a ( )a

1212

∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意n N都成立。

2

例18：在数列｛an｝中，a1 2,an 1 an na 1，则an的表达式为。 2分析：因为a1 2,an 1 an na 1，所以得：a2 3,a3 4,a4 5，

*

猜想：an n 1。 十、倒数法

数列有形如f(an,an 1,anan 1) 0的关系，可在等式两边同乘以

11

,先求出,再求得an. anan 1an

例19．设数列{an}满足a1 2,an 1

an

(n N),求an. an 3

111

. ,得1 3

an an 1anan 1

解：原条件变形为an 1 an 3 an 1 an.两边同乘以

∵（3

111111

) , 3n 1 an2an 12an22

. n 1

2 3 1

∴an