【考研数学】143分牛人的重点及难点归纳辅导笔(9)

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7．2 绝对微分的性质 7．3 自平行曲线

7．4 向量绕闭曲线一周的平行移动 总曲率的又一种表示 7．5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系 教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。 习题：

1. 证明推论2.3.1，

2. 设X，Y为Banach空间，x(t):[a,b] X是连续抽象函数, 对有界线性算子T:X Y，

证明：Tx在[a,b]上R－可积，并且

Tx(t)dt T

a

bb

a

x(t)dt。

3. 设C[a,b]到C[a,b]中的算子T由(Tx)(t)

t

a

T在任一元素x处(1 s2)[x(s)]2ds给出，

是否F－可导？若答案肯定，求导算子T (x)。

4. 设f是R到R中的一个C映射。证明：f在x0 Rn处沿方向h R的G－微分

n

1n

df(x0;h)等于 grad f (x0) hT,

这里 grad f =（

f f f f

）, h (h1,h2, hn); ,,,

x1 x2 x3 xn

在f(x1; ,x3) x1x2 xex3 xn 1xn 和 h (1,2,3,0,0, ,0,1),

x0 (n,n 1, ,3,2,1)的情况下计算df(x0;h)，又问：f在x Rn处的F－导数是什么？

23n

当f(x) x1 x2时求f (x)。 x3 xn

222

5. 设T:R R由T(x,y) (x y,xy 3y,4x 5y)定义，求T在（－1，2）处沿方

2

3

向（1，－1）的G－微分。

x2 y2 2y 2x x x 22

解：写T y y2xy 3 ，故所求G－微分为 y xy 3y ，知T

4 4x 5y 5

2 4 2

1 1 1 T 4 1 2 1 1 5 。

4 1 5