【考研数学】143分牛人的重点及难点归纳辅导笔(10)

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6. 设X、Y是赋范线性空间，T：X Y由Tx Ax y0, x X定义，其

y0 Y，A B(X, Y )，证明T在 x X处F—可微，且求其F—导算子。

解：

x X, h X,T(x h) T(x) A(x h) yo (Ax yo) Ax Ah yo

Ax yo Ah ，由于A B(X, Y )，且h

且T (x) A。

7. 设T:R3 R2由T (x,y,z) (3x2 2y,y2 2xz) R2, (x,y,z) R3确定，求T在（1，2，－1）处的F—导数。

1

0 0,(h 0),T在x处是F—可微的，

x x 3x2 2y 解：采用列向量表示，T将y变换成 2，故T在 y 处的 F —导数应是变换 z z y 2xz

6x 20 6 20 ，在处，此矩阵为(x,y,z) (1,2, 1)T的Jacobi矩阵 2z2y2x 242 ，在

列向量表示下，T在（1，2，－1）处的F—导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变换：

h1 h1 h1

6 20 3 6h1 2h2 R2故T在（1，2，－h, h R, 右端即 h2 22 242 2h1 4h2 2h3 h hh 3 3 3

1）处的F—导数就是将 (h1,h2,h3)变换为(6h1 2h2, 2h1 4h2 2h3)的线性变换。

［备注1：这一答案保持了原题用行向量叙述的方式。］

x 3x2 2y x x 23 ［备注2：当T:R R表示为Ty 2 R, y R，我们可得T在 y y 2xz z z z

3

2

处的F—导数是：

x 6x 20 x h1 6x 20 h1 h1 h , h R3， T y ，即T y h2 z 2z2y2x z h 2z2y2x h2 h2

3 3 3 1 h1

故 T 2 h2

1 h 3

h

6h1 2h2 , h1 R3 2h 4h 2h 2

123

h3

1 6 20

或 T 2 ］ ，算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表示。 1 242