矩阵位移法

形截面来处理，依靠加密结点的方法来提高解题精度。

图9.1

9.2.2 在单元局部坐标中的单元刚度矩阵

结构离散化之后，要进行单元分析，其任务是建立杆端位移和杆端力之间的关系。 1．平面刚架自由单元刚度矩阵

当不考虑单元两端的约束情况时，对于平面杆件，单元杆端位移有6个，相应的杆端力

有6个。这样的单元称为自由单元。

如图9.2所示，自由单元两端结点编号为i和j，其单元编号为e。以i为坐标原点，并规定由i到j的方向为轴的方向，以右手法则定出轴的正向。这个坐标系称为单元局部坐标系，i和j分别称为单元e的始端和末端。

单元杆端力列向量为

eNieSiieeNje

Sj

ej

T

图9.2

单元杆端位移列向量为

ieie iejejeje

e

T

在单元局部坐标系中，杆端力和杆端位移的符号均规定与坐标轴的正向一致时为

正，其中转角和弯矩以逆时针方向为正。如图9.2所示杆端位移分量和杆端力的分量均为正向。

由于自由单元的位移包含了弹性位移和刚体位移两部分，而刚体位移仅由单元本身是

矩阵位移法

无法确定的。因此，不能由单元的杆端力确定单元的杆端位移。但是，由单元的杆端位移可以确定单元的杆端力。设单元ee杆端位移分量是已知的，如图9.2所示。根据虎克定律和第七章表7-1并按本章的符号规定，利用叠加原理，则单元杆端力分别为

e

EAeEAeNi li lj

e12EI6E12Ie6Ie

Si l3ei l2e il3 j

l2 je 6EI4EIe6EIe2EIl le

i2eii l2j lj

e

EAleEAeNj i lj e12EIle6EIe12EIe6EI

ej 3i l2i l3j l2j

e6EIe2EIe6EIe4EIe

j

l2i li l2j l

j 式(9-1)即为平面刚架自由单元刚度方程，写成矩阵形式则有

EAEA l00 l

00

e 12EI6EINi 0320 12EI6EI

32 e e lllli EI4EI6EI2EI e Si6 e

00 i l ei l2ll2i e EAEA e Nj 0000 j eSj ll ej e j 12EI e 0 6EI12EI6EI320 2 j lll3

l

6EI

02EIl2l0 6EI4EI l2l

若令

eeei i i ej ej ej

EA 00 EA e

ll

00 Ni 12EI6EI12EI6EI

0l3l20 ll2 e3

Si

06EI4EI0 6EI2EI

e2 e l2lll EAEA

i l00l00 eNj

0 12EIl 6EI12EI6EI

3l20l3

l2 e Sj 6EI2EI6EI4EI

0l2l0 l2l

ej

(9-1)

(9-2) (9-3)