若x y，设x<y，则f(x)=y<f(y)=x，矛盾。 同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y. 即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,

因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1. 7．待定系数法。

例1 （经典例题） 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x). 【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a 0),

则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0， 因为方程x2-x+1=0中△ 0，

所以α β，所以(α+β)a+b+1=0.[来源:学科网] 又α+β=1,所以a+b+1=0. 又因为f(1)=a+b+c=1， 所以c-1=1，所以c=2.

又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,

所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0. 即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0， 所以a=1,

所以f(x)=x2-2x+2. 8．方程的思想

例2 （10.全国） 已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以1≤-f(1)=c-a≤4.

85f(2)-f(1), 33

8585所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,

3333

又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=

所以-1≤f(3)≤20.

9．利用二次函数的性质。 例3 （经典例题） 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a 0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。

【证明】若a>0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。 所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。 注：请读者思考例3的逆命题是否正确。 10．利用二次函数表达式解题。

例4 （经典例题）设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0<x1<x2<（Ⅰ）当x∈(0, x1)时，求证：x<f(x)<x1；

（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0<

1, a

x1

. 2

【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.

（Ⅰ）当x∈(0, x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x. 其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+

1

]<0，所以f(x)<x1. a

综上，x<f(x)<x1.

（Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,