a(x1 x2) 1x1 x21

,

2a22axx11 1

所以x0 1 2 x2 0，

222a2 a x

所以x0 1.

2

所以x0=

11．构造二次函数解题。

例5 （经典例题） 已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。 【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,

f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0，

所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。[来源:] 即方程的正根比1小，负根比-1大。 12．定义在区间上的二次函数的最值。

x4 x2 5

例6 （经典例题）当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。

(x2 1)2

151

【解】 y=1-2,令 2 u,则0<u≤1。 22

x 1(x 1)x 11 1919

y=5u2-u+1=5 u ,

102020 119

且当u 即x= 3时，ymin=.

1020

例7 设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是 【解】 由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1).

2

1

，求b的值。 2

b2b21b2

, ，所以b2=2，所以b 2（舍去）。 ⅰ)-≤-(b+1)，即b≤-2时，x+bx的最小值为-4422

b

ⅱ) ->-(b+1)，即b>-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数，

2

13

所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.

22

3

综上，b=-.

2

13.一元二次不等式问题的解法。

x2 x a a2 0

例8 （经典例题） 已知不等式组 ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。

x 2a 1

【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a, 若a≤0，则x1<x2.①的解集为a<x<1-a，由②得x>1-2a. 因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。 若a>0，ⅰ）当0<a<

1

时，x1<x2,①的解集为a<x<1-a. 2

因为0<a<x<1-a<1，所以不等式组无整数解。 ⅱ）当a=

1

时，a=1-a，①无解。 2