（请同学自己用定义证明）

6．连续函数的性质：若a<b, f(x)在[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。 二、基础例题（必懂） 1．构造函数解题。

例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0.

【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1<a<1）. 因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0， 所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.

例2 （06） （柯西不等式）若a1, a2, ,an是不全为0的实数，b1, b2, ,bn∈R，则（≥(

a

i 1

n

2i

）·（

b

i 1

n

2i

）

ab

ii 1n

n

i

)2，等号当且仅当存在 R，使ai= bi, i=1, 2, , n时成立。

【证明】 令f(x)= （因为

a

i 1

n

n

2i

）x-2(

2

ab

ii 1

n

i

)x+

b= (a

2ii 1

i 1

nn

i

x bi)2,

a

i 1

2i

>0，且对任意x∈R, f(x)≥0，

所以△=4(展开得（

ab

ii 1n

n

i

)-4（

a

i 1

2i

）(

n

b

i 1

n

2i

)≤0.

a

i 1

2i

）(

b

i 1

n

2i

)≥(

ab

ii 1

i

)2。

等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在 ，使ai= bi, i=1, 2, , n。

***注释：根据许多省市的2011年高考大纲，柯西不等式已经淡化，同学只需大致了解就即可，不需深入做题。

例3（10.全国卷） 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u= x 【解】u= x =xy+

1 1 y 的最小值。 x y

1 1 xy11

y =xy+≥xy++2· x y yxxyxy

xy

yx

1+2. xy

(x y)2c2c21

令xy=t，则0<t=xy≤,设f(t)=t+,0<t≤. 444t

c2 c2

因为0<c≤2，所以0<≤1，所以f(t)在 0,4 上单调递减。 4

c2c24c24所以f(t)min=f()=+，所以u≥++2.

44c24c2

c24c

当x=y=时，等号成立. 所以u的最小值为+2+2.

4c2

2．指数和对数的运算技巧。

例4 （经典例题） 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求

q

的值。 p

【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t，