ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=综上，方程有唯一实数解x=. 3.配方法。

4

,但与m<0矛盾。 5

45

例7 （经典例题） 求函数y=x+2x 1的值域。[来源:Z+xx+][来源:]

1

[2x+1+22x 1+1]-1 2

111=(2x 1+1)-1≥-1=-. 222

111

当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）。

222

【解】 y=x+2x 1=4．换元法。

例8 （经典例题） 求函数y=( x+ x+2)( x+1),x∈[0,1]的值域。[来源:学科网] 【解】令 x+ x=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2 x≤4,所以2≤u≤2,所以

2

2

2 2

≤2

u2u 2u 22

≤2，1≤≤2，所以y=,u∈[2+2，8]。

222

所以该函数值域为[2+2，8]。[来源:学*科*网]

5．判别式法。

x2 3x 4

例9 求函数y=2的值域。

x 3x 4

【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当y 1时，①式是关于x的方程有实根。 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得

1

≤y≤1. 7

又当y=1时，存在x=0使解析式成立， 所以函数值域为[

1

，7]。 7

6．关于反函数。

例10 （10年宁夏）若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。[来源:学#科#网]

【证明】设x1<x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1≥y2，则因为f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以y1<y2。 即y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。

4x 1

，解方程：f(x)=f-1(x).

3x 221

【解】 首先f(x)定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x1, x2是定义域内变量，且

345(x2 x1)24x2 14x1 1

x1<x2<-;=>0,

33x2 23x1 2(3x2 2)(3x1 2)

21

所以f(x)在（-∞，-）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。

34

例11 （经典例题）设函数f(x)=在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-1

，+∞）. 4