2015届山东省济宁市育才中学高三上学期期中考试数学(理科)试题及参考答案(含解析)【纯word版】

②假设当n k时，不等式成立， 即7 4k 1 3k 1成立………6分

k

k 1

7 4 4 7 4 4(3k 1) 12k 4 3k 4 3(k 1) 1 当n k 1时，

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x) ax2 (a 2)x lnx.

（Ⅰ）当a 1时，求曲线y f(x)在点（1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）当a 0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为 2，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对任意x1,x2 (0, ),x1 x2时，f(x1) 2x1 f(x2) 2x2恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】

（Ⅰ）当a 1时，f(x) x2 3x lnx,f(x) 2x 3

1

.………………2分 x

因为f'(1) 0,f(1) 2. 所以切线方程是y 2. ………………4分

（0， ）（Ⅱ）函数f(x) 2ax (a 2)x lnx的定义域是. ………………5分

12ax2 (a 2)x 1

当a 0时，f'(x) 2ax (a 2) (x 0)

xx

2ax2 (a 2)x 1(2x 1)(ax 1)

令f'(x) 0，即f'(x) 0，

xx

11

所以x 或x . ……………………7分

2a1

当0 1，即a 1时，f(x)在［1，e]上单调递增，

a

所以f(x)在［1，e]上的最小值是f(1) 2；

11

当1 e时，f(x)在［1，e]上的最小值是f() f(1) 2，不合题意；

aa1

当 e时，f(x)在（1，e）上单调递减， a

所以f(x)在［1，e]上的最小值是f(e) f(1) 2，不合题意………………9分

（Ⅲ）设g(x) f(x) 2x，则g(x) ax2 ax lnx，

（0， ）依题意， 只要g(x)在上单调递增即可。…………………………10分