第一章 习题（Exercises）

1-1 设有矩阵

0 0A

an

试证，A的特征多项式为

10 an 1

01 an 2

0 0

a1

( ) det( I A) n a1 n 1 a2 n 2 an 1 an

若 i是A的特征值，试证 1, i, i i

2

n 1T

是对应于 i的特征向量。

1-2 若 i是A的一个特征值，试证f( i)是矩阵f(A)的一个特征值。 1-3 试求下列矩阵的特征多项式和最小多项式

1

1 1

1

1

1

1-4 给定

110

A 001

001

试求A

101

和e

At

1-5 若D可逆，证明

AB

det detD det A BD 1C CD

1-6 若A R

p q

,B Rq p，试证

det Ip AB det Iq BA

1-7 求下列齐次方程的基本解阵和状态转移矩阵

（1）x

0t 0cost

x， （2）xx 0 0 00