三种方式的倒格子定义

固体物理晶体理论

20年 1 08 0月

长治学院学报Ju o m￣ o h n z i ie￣ f a g h v mi C Un

Oc.. 08 t 2o Vo . . . 1 No5 25

第2 5卷

第 5期

三种方式的倒格子定义高慧芬，美红逯(长治学院电子信息与物理系，山西长治 061 ) 40 1

摘

要：文章总结概括了三种倒格子的定义方式，与一般直接给出表达式来定义倒格子的方式相比，者能够使倒格子前

概念变得更加直观，理解和运用起来更加简单。关键词：正格子；格子；义倒定中图分类号： 4 1 O 8文献标识码： A文章编号：6 3 2 1 (0 80— 0 6 0 17— 0 4 20 )5 0 5— 3

1引言

在固体物理学中，与正格子互易的倒格子是一

个非常重要的概念。除此之外，在晶体衍射，金属学等课程中也都涉及到。所以说，倒格子概念如何引进和如何定义对学好这些课程至关重要。现在许多

固体物理学教材中都是直接给出表达式作为倒格子定义[] 1, i然后从定义出发推导晶体的性质， p这对初学者来说比较抽象，难懂，理解和运用起来也比图 1倒格点 P的选取 较困难。如果反过来，从晶体性质出发引出倒格子概念，后再进一步推导倒格基矢的数学表达式的然设正格子的基矢为a, 2坐标面a 3 31 l2 1 a, a,3 , 0, a a a话，使倒格子概念变得直观，会清晰和自然，解和理 ,,: 3 a。运用起来也比较简单。文总结概括了三种这样的分别有其对应的晶面族。设 a。aa。 a面族的本

定义方式。 2三种方式的倒格子定义

面间距分别为 d,2d。 O Laa, 0。d,。作 P 面在 P上截

取一段 O= 3 b 2r 3同理， P d, 3,d。使=r/对于a,,面 aa z3 31 a 21根据晶体衍射照片上斑点与晶体中每一族晶 .可以分别得出 b 2/。 2 7d。这得出来的三个 l 7d,= r:= r b 2/面的一一对应关系定义倒格子圆 矢量就是倒格子的基矢。 晶体的衍射是由于晶格和波的相互作用。每一因为正格子元胞的体积族晶面与波相互作用的结果是在照片上出现一个斑点。通过对斑点的分布进行分析，以决定所讨 可论晶格的基矢。所谓倒格子

,是这些斑点或者点所以就

nd a=1× 1 a

( 1 )

子所组成的格子。下面我们从倒格子和晶格的几何

关系得出倒格子基矢的具体表达式。 从原点 D作晶面族 A C的法线 O, B N在法线上截取一段 O -, p=7;是晶面族 A C的面间 P-使 d 2rd p B距。对于每一族晶面都有一点 P以 O为该方向的， P周期， P平移出来，出一个新的点阵。这个新的把得收稿日期：0 8 6 1 2 0—O— 7

等：矢量的形式为。 D——一： 3

( 2 ) (a 3)

作者简介：高慧芬(9 9 17一

)女，,山西长治人，助教，主要从事理论物理教学研究。

固体物理晶体理论

高慧芬。美红逯

三种方式的倒格子定义

同理可得：:

根据条件 (2,以将b。成 1 )可写( b 3)61ra2 = h ×a3

(3 1)

代入 (2,以求出系数 1 )可。 :

(c 3)

2r 7叼1

( 4 1)

这就是正格子和倒格子之间的关系，了正格子就所以有可以求出相应的倒格子。。 =

警

(a 1) 5

22根据晶格的平移对称性定义倒格子嗍 . 晶体以及晶体中任何具有局域特征的物理性质，电荷浓度、如电子数密度和磁矩密度等都满足平移对称性：r R ) r += ) () 4

其中 Q=·a× 。口1( a3 2 )同理，=

(5 ) 1 b

:

其中R为任意的布拉维格矢。 将 r展开成傅立叶级数 ) 23利用三维函数定义倒格子同 -

(5 ) 1 c

r= () )∑Ageg

() 5

将一维晶格定义为等间距 a Dr 8函数的 ic a(— a,=,,, 4∞, u )u O±1±2… -

由( ) 4式可知，于任意的布拉维格矢，对应有

+: ( e R )∑ g m’ )g

满足且

x u ) -a=f (— a d= u )x l 6 ( 7 1)

= )∑ g r= () eg

() 6() 7

对 8xu )行傅立叶变换： (—a进f (一 a ep ix d= x ( u ) x￣ )x ( )x ep i a 8 k k ( 8 1)

即t一 g

因为函数 8x ) (一为偶函数且周期为口所以，e=

1

f (一 )x ( 妣 epi

) 6 k

(一

)

(9 1)

由此，我们可以进行如下的定义： 对布拉维格子中所有格矢R,足 满。^ 一:

该函数可以被看作是垂直于轴的一系列平行面，它们之间的间距为 2r . 7a l () 8

1或 .:仃 2m

对于三维空间，基矢为 a, C,意晶格矢其 b,任

的全部 G的端点的集合，构成该布拉维格子的倒格可以写作子。R=+ b+ e,,,=, 1±,± ( O啪 v w u vw O±, 2…∞ 2)

将 R凡+z na代人 ( )得到 1 n 2 33 a1 a+ 8,nG^ G^ nG^ 2r l a1 2 a2 3 a= q++ 3 m () 9

它可表示为三维的函数 6卜. )相应的傅立叶 ( ,变换为 8 k— ) ( G

由于 ( )对任意整数 t,立，以要求 9式/ n成， 1 所 G^ l2rlG^ 2r2G^ 2r3 a=7, a2 7, a3 7 h= h= h (O 1)

这个三维的 8函数可以用来定义倒格子。它们

其中 h,,, i:为整数。这样， hh可以把倒格矢写成G^ b1h hb3= 1+2 2 3 b+且

由三组平面(分别与b面，a a面平行， C C面， 6而问距为 2r,￣b2r ) 1a2r,7c的交点构成。因为与 b// l ,a C面 C —

( 1 1)

■—

}

面， a b面分别平行的平面的法线方向与b× C× C,…

b·j￣ a= 2

a×b三个矢量方向相同。所以倒格失 G可以记 (2 a, 1)

固体物理晶体理论

长治学院学报

为… _+

种定义利用了 6函数，然后从数学的角度进行推G= a.后+c h+6 f/ 1、 .

导，以比较严谨。所以对于不同的初学者，以选所可

择自己 …… 此处隐藏：896字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……