七. （本题满分10分）

证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数（矩阵）保持不变。 【证明】设原线性系统为

Ax Bu x

y Cx Du

其传递函数矩阵为W(s) C sI A B D 设线性变换为x Tz，变换后的线性系统为

1

z T 1ATz T 1Bu

y CTz Du

该系统的传递函数矩阵为

(s) CT sI TAT T 1B D

1

1

CT sT 1T T 1AT T 1B D

1

CT T

1

sI A T

1

1

1

T 1B D

CTT 1 sI A TT 1B D C sI A B D

显然，W(s) (s)，即其传递函数（矩阵）保持不变。 证毕

八. （本题满分10分）

3

x 1 x2 3x1 5，证明该系统在坐标原点处某2阶非线性系统的状态方程为 2x1x225

2 x1x2 x2 2 xx1 3

渐近稳定。 【证明】

2

取李雅普诺夫函数V(x) x12 x2，显然是正定函数；此外，沿着状态轨线的导数为：5

2x1x2325 1 2x2x 2 2x1 x2 3x1 2x2 x1x2 x2 2V(x) 2x1x

x 3 1

2x1 6 6x12 2x2 1 2

x1 3