2016年山东省潍坊市中考数学试卷及答案解析(17)

第18页（共22页） （2）如图2，将△EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边DE ′、DF ′分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P ，连接GP ，当△DGP 的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．

【考点】旋转的性质；菱形的性质．

【分析】（1）连接BD ，证明△ABD 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB ，根据相似三角形的性质解答即可；

（2）分∠EDF 顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．

【解答】（1）证明：如图1，连接BD ，交AC 于O ，

在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，AD=AB ，

∴△ABD 为等边三角形，

∵DE ⊥AB ，

∴AE=EB ，

∵AB ∥DC ，

∴==，

同理，

=， ∴MN=AC ；

（2）解：∵AB ∥DC ，∠BAD=60°，

∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，

∴∠EDF=60°，

当∠EDF 顺时针旋转时，

由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP ，∠GDP=∠EDF=60°，

DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，

在△DEG 和△DFP 中，

，

∴△DEG ≌△DFP ，

∴DG=DP ，

∴△DGP 为等边三角形，

∴△DGP 的面积=

DG 2=3， 解得，DG=2

， 则cos ∠EDG=

=，

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∴∠EDG=60°，

∴当顺时针旋转60°时，△DGP 的面积等于3，

同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP 的面积也等于3，

综上所述，将△EDF 以点D 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP 的面积等于3．

25．如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 时直线AC 下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；

（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；

（2）设点P （m ， m 2+2m+1），表示出PE=﹣m 2﹣3m ，再用S 四边形AECP =S △AEC +S △APC =AC ×PE ，建立函数关系式，求出极值即可；

（3）先判断出PF=CF ，再得到∠PCF=∠EAF ，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况计算即可．

【解答】解：（1）∵点A （0，1）．B （﹣9，10）在抛物线上，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y=x 2+2x+1，

（2）∵AC ∥x 轴，A （0，1）