平面向量典型例题(8)

第 9 页 共 10 页 ∵DM →＝32DP →，∴⎩⎨⎧ y ＝32y 0x ＝x 0

，∴⎩⎨⎧ y 0＝23y x 0＝x ， 代入x 20＋y 20＝4得，x 24＋y 29

＝1. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，显然F 2A →·F 2B →＝－4，

②当直线AB 的斜率存在时，不妨设AB 的方程为：y ＝kx ＋5，

由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋5

x 24＋y 2

9＝1得，(9＋4k 2)x 2＋85kx －16＝0，

不妨设A 1(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则

⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－85k 9＋4k 2x 1x 2＝－169＋4k 2， F 2A →·F 2B →＝(x 1，y 1＋5)·(x 2，y 2＋5)＝(x 1，kx 1＋25)·(x 2，kx 2＋25)＝(1＋k 2)x 1x 2＋25k (x 1＋x 2)＋20 ＝－16(1＋k 2)9＋4k 2＋－80k 29＋4k 2＋20＝－96k 2－169＋4k 2

＋20 ＝－4＋2009＋4k 2

， ∵k 2≥0，∴9＋4k 2≥9，∴0<2009＋4k

2≤2009， ∴－4<F 2A →·F 2B →≤1649

， 综上所述，F 2A →·F 2B →的取值范围是(－4，1649

]． 24. 在平面直角坐标系内，已知两点A (－1,0)、B (1,0)，若将动点P (x ，y )的横坐标保持不变，纵坐标扩大

到原来的2倍后得到点Q (x ，2y )，且满足AQ →·BQ →＝1.

(1)求动点P 所在曲线C 的方程；

(2)过点B 作斜率为－22

的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且OM →＋ON →＋OH →＝0，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

[解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(x ，2y )，

依据题意得，AQ →＝(x ＋1，2y )，BQ →＝(x －1，2y )．

∵AQ →·BQ →＝1，∴x 2－1＋2y 2＝1.∴动点P 所在曲线C 的方程是x 22

＋y 2＝1. (2)因直线l 过点B ，且斜率为k ＝－

22，∴l ：y ＝－22(x －1)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪

⎧ x 22＋y 2＝1y ＝－22(x －1)，消去y 得，2x 2－2x －1＝0.