平面向量典型例题(6)

第 7 页 共 10 页 (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(π3

－2B )的值域． [解析] (1)由m ∥n 得(2b －c )cos A －a cos C ＝0，

由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0，

∵sin(A ＋C )＝sin B ，∴2sin B cos A －sin B ＝0，

∵B 、A ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴A ＝π3

. (2)y ＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B ＝1－12cos2B ＋32sin2B ＝sin(2B －π6

)＋1， 当角B 为钝角时，角C 为锐角，则

⎩⎪⎨⎪⎧

π2<B <π0<2π3－B <π2⇒π2<B <2π3， ∴5π6<2B －π6<7π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)，∴y ∈(12，32

)． 当角B 为锐角时，角C 为钝角，则

⎩⎪⎨⎪⎧ 0<B <π2π2<2π3－B <π⇒0<B <π6

， ∴－π6<2B －π6<π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)，∴y ∈(12，32

)， 综上，所求函数的值域为(12，32

)． 21. 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .

(1)若f (x )＝1－3且x ∈[－π3，π3

]，求x ； (2)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π2

)平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值． [解析] (1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x

＝1＋2sin(2x ＋π6

)． 由1＋2sin(2x ＋π6)＝1－3，得sin(2x ＋π6)＝－32

， ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4

. (2)函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin2(x －m )＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin2(x ＋π12)＋1.∵|m |<π2，∴m ＝－π12

，n ＝1. 22. 已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，f (x )＝OP →·OQ →.

(1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)当x ∈[0，π2

]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值． [解析] (1)∵OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，