平面向量典型例题(7)

第 8 页 共 10 页

∴f (x )＝OP →·OQ →＝(2cos x ＋1)cos x －(cos2x －sin x ＋1)

＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4

)， ∴函数f (x )最小正周期T ＝2π.

(2)∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4

]， ∴当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时，f (x )＝2sin(x ＋π4

)取到最大值 2. 23. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －

32)，且m ⊥n .

(1)求A 的大小；

(2)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．

(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)．

[解析] (1)因为m ⊥n ，所以－cos B cos C ＋sin B sin C －

32＝0， 即cos B cos C －sin B sin C ＝－32，所以cos(B ＋C )＝－32

， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(B ＋C )＝－cos A ，所以cos A ＝

32，A ＝30°. (2)方案一：选择①②，可确定△ABC ，

因为A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，

由余弦定理得，12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32解得b ＝2，所以c ＝6＋22

， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·2·6＋22·12＝3＋14

， 方案二：选择①③，可确定△ABC ，

因为A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，C ＝105°，

又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝

6＋24

， 由正弦定理c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·6＋22·22＝3＋14

. (注意：选择②③不能确定三角形)

(理)如图，⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M 在DP 延长线上，⊙O 交y 轴于点N ，DP →∥ON →，且DM →＝32

DP →. (1)求点M 的轨迹C 的方程；

(2)设F 1(0，5)、F 2(0，－5)，若过F 1的直线交(1)中曲线C 于A 、B 两点，

求F 2A →·F 2B →的取值范围．

[解析] (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，