平面向量典型例题(4)

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⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.

16. 已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，

n ∈R ＋)，则m n

＝________. [答案] 3

[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，

∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ，

|OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ， 两式相除得：m 3n ＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴m n ＝3. 17. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝

－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．

[答案] 5

[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA →·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA

→|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，

∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝255

， ∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →，OB →〉＝12×5×5×255

＝5. (理)三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)

①sin A ＋cos A ＝15

②AB →·BC →<0 ③b ＝3，c ＝33，B ＝30° ④tan A ＋tan B ＋tan C >0. [答案] ④

[解析] 若A 为锐角，则sin A ＋cos A >1，∵sin A ＋cos A ＝15

，∴A 为钝角，∵AB →·BC →<0，∴BA →·BC →>0，∴∠B 为锐角，由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形；由正弦定理

b sin B ＝

c sin C 得，3sin30°＝33sin C ，∴sin C ＝32，∴C ＝60°或120°，∵c ·sin B ＝332，3<332

<33，∴△ABC 有两解，故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形．

④由tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝tan A tan B tan C >0，及A 、B 、C ∈(0，π)，A ＋B ＋C ＝π知A 、B 、C 均为锐角，

∴△ABC 为锐角三角形．

18. 已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．

(1)若a ⊥b ，求x 的值．

(2)若a ∥b ，求|a －b |.

[解析] (1)若a ⊥b ，