05-3 多自由度系统的受迫振动

5.3

多自由度系统的受迫振动

燕山大学Yanshan University

5.3.1 无阻尼系统的受迫振动 无阻尼系统受迫振动运动方程： M K x Q(t ) x 式中: m11 m M 21 mn1 m12 m22 mn 2 m1n m2 n mnn K11 K K 21 K n1 K12 K 22 K n2 K1n K 2n K nn

激励力{Q(t)}种类：简谐力、周期力、非周期力等。 只讨论简谐激励力。 Q1 Q2 Q(t ) sin t Q sin t Qn

多自由度系统简谐激励的受迫振动

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系统受简谐力激振时运动微分方程：采用正则坐标{x}=[N]{ψ}进行变换：

K x Q sin t M x

K N M N Q sin t左乘[N]T解耦：T T N M N N K N N Q sin t T

2 n N Q sin t Q sin t T

正则激振力幅值列阵： {Qψ}=[N]T{Q}

正则坐标下的稳态响应2 n N T

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Q sin t Q sin t

将系统运动微分 方程展开

2 1 n 1 Q 1 sin t 1 2 2 n 2 Q 2 sin t 2 2 n Q n sin t nn n

这是n个相互独立的单自由度 系统无阻尼受迫振动的运动微 分方程，运动微分方程组完全 解耦，每个方程都可以单独求 解！

对于单自由度系统的无阻尼受迫振动：

kx F0 sin t mxx

F0 x x sin t m2 n

F0 ζ=0 k sin( t ) 2 2 2 (1 ) (2 )

F0 x 2 m 2 sin t n

正则坐标下的稳态响应2 1 n 1 Q 1 sin t 1 2 2 n 2 Q 2 sin t 2 2 n Q n sin t nn n

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F0 x x sin t m2 n

F0 x 2 m 2 sin t n

系统正则响应方程：Q 1 1 2 2 sin t n1 Q 2 sin t 2 2 2 n 2 Q n sin t n 2 2 nn

正则坐标响应的矩阵形式：

Q 2 sin t 2 n

几何坐标下的稳态响应

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用{x}=[N]{ψ}进行坐标反变换，求得几何坐标的响应矩阵： Q 1 ( 2 2 ) n1 n A1( n ) Q 2 (n

) n A2 2 2 ( n 2 ) sin t (n) n An Q n 2 2 ( nn )

x1 1 A1(1) x (1) 2 1 A2 (1) A xn 1 n

2 A1(2) (2) 2 A2 (2) 2 An

当激振力频率ω接近固有频率ωn1、ωn2、…中任何一个值时，

系统振幅将达到最大值，这就是共振现象。 n个自由度系统具有n个共振频率。

多自由度系统受迫振动实例

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例 图中设系统受到简谐力的作用，Ql=1sinωt,Q2 = Q3=0,试求 系统对激振力的响应。 解：(1)系统运动微分方程 3自由度系统，取x1、x2、x3为 广义坐标，运动微分方程为：

1 3Kx1 2 Kx2 sin t mx 2 2 Kx1 3Kx2 Kx3 0 mx 2mx 3 Kx2 Kx3 0矩阵形式: m M 0 0 0 m 0

K x Q M x0 0 2m 3K K 2 K 0 2 K 3K K 0 K K 1 sin t 0 Q 0

(2)固有频率 特征方程：B [ K ] 2 [M ] 3K 2 m 2K 0 2K 3K 2 m K2

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0 K K 2 2 m3

0

展开并整理得：

K 4 K 2 K 6.5 7.5 0 m m m 6

用数值解法得：2 n 1 0.1532 K / m, n1 0.3914 K / m 2 n 2 1.2912 K / m, n 2 1.1363 K / m 2 n 3 5.0556 K / m, n 3 2.2485 K / m

(3)振型向量、振型矩阵与正则振型矩阵 振型方程：3K 2 m 2 K 0 A1 3K 2 m K A2 0 K K 2 2 m A 3 0 2 K

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2 n 1 0.1532 K / m 2 n 2 1.2912 K / m 2 n 3 5.0556 K / m

振型向量：

1.0000 (1) A 1.4235 2.0523

1.0000 (2) A 0.8544 0.5399

1.0000 (3) A 1.0279 0.1128

1 振型矩阵： P 1.4235 2.0523

1 0.8544 0.5399

1.0279 0.1128 1

正则振型矩阵 主质量矩阵：

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1 1 1 1.4235 2.0523 m 0 0 1 T 0 m 0 1.4235 0.8544 1.0279 1 0.8544 0.5399 M P P M P 1 1.0279 0.1128 0 0 2m 2.0523 0.5399 0.1128 0 0 11.4502 m 0 2.3130 0 0 2.0820 0

正则因子β:

1 1 / 11.4502 m 2 1 / 2.3130 m 3 1 / 2.0

820 m

1 1 1 P 1 . 4235 0 . 8544 1 . 0279 2.0523 0.5399 0.1128 20.8544 2 1.0279 3 0.1128 3

正则振型矩阵[N]:

N 1.4235 1

1

3

2.0523 1

0.5399 2

(4)正则坐标下的响应方程 正则激振力: Q 1 1 T Q N 2 Q sin t 2 Q 3 3 1.4235 1 0.8544 2 1.0279 3

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2.0523 1 1 1 0.5399 2 0 sin t 2 sin t 0 0.1128 3 3

正则响应: 1 sin t 1 2 2 n1 2 sin t 2 2 2 n 2 3 sin t 3 2 2 n 3

(5)几何坐标下的响应方程 x1 1 x2 N 1.4235 1 x 2.0523 1 3

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20.8544 2 0.5399 2

2 2 1 /( n1 ) 2 2 1.0279 3 /( ) sin t n2 2 2 2 0.1128 3 /( ) 3 n 3

3

32 12 22 2 2 2 2 2 2 n1 n2 n3 2 2 2 1.4235 1 0.8544 2 1.0279 3 2 sin …… 此处隐藏：3703字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……