平面向量典型例题(5)

第 6 页 共 10 页 则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，

整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.

(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，则x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2，

当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，

∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝(－2)2＋02＝2，

当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，

∴|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝22＋(－4)2＝2 5.

19. 已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝(3cos x ，－12

)，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2. (1)求函数f (x )的最小正周期T ；

(2)将函数f (x )的图象向左平移π6

上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的解析式及其对称中心坐标．

[解析] (1)f (x )＝(a ＋b )·a －2＝a 2＋a ·b －2＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12

－2 ＝1－cos2x 2＋32sin2x －12＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6

)， ∴周期T ＝

2π2＝π. (2)向左平移π6个单位得，y ＝sin[2(x ＋π6)－π6]＝sin(2x ＋π6

)，横坐标伸长为原来的3倍得， g (x )＝sin(23x ＋π6)，令23x ＋π6＝k π得对称中心为(3k π2－π4

，0)，k ∈Z . 20. (文)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，

若m ∥n .

(1)求角B 的大小；

(2)若sin A ＋sin C 的取值范围．

[解析] (1)由m ∥n 知c －a a ＋b

＝b －a c ， 即得b 2＝a 2＋c 2－ac ，据余弦定理知cos B ＝12，得B ＝π3

. (2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3

) ＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin(A ＋π6

)， ∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，∴A ∈(0，2π3

)， ∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A ＋π6)∈(12

，1]， ∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32

，3]． (理)在钝角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .

(1)求角A 的大小；