平面向量典型例题(2)

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[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝12

，y ＝1时成立． 8. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x

为( )

A ．－1

B ．0 C.－1＋52 D.1＋52

[答案] A

[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C

共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1.

9. (文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )

A ．最大值为8

B ．最小值为2

C ．是定值6

D ．与P 的位置有关

[答案] C

[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC

→＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，

设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，

∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.

(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，

则|AD →|的最小值是( )

A.12

B.32

C. 2

D.22 [答案] D

[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1，

∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，

∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12

， ∴|AD →|≥22

. 10. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分

别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12

AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )