适合非线性有限元学习及作业~

t

ij ij

12

(ui,j uj,i)

tt

12

( ui,j uj,i)

t

位移边界条件：物理方程

ij Dijkl kl

ep

t

ui ui ui ui

， 为 t内的一点，t

t t

方程状态分析：小变形状态

只有物理方程是非线性的，其余方程都是线性方程。物理方程从整体上看是非线性的，但具体到每一迭代步时是线性的。

理论上讲，

t

ui

，

t

ij

， ij已“精确”满足t时刻的方程，实际上不可能精确满足，

t

需要平衡迭代，不断校正。 3.4 增量有限元方程的建立

微分方程 能量形式 离散化

平衡方程+几何方程 最小势能原理 虚功方程 从t t+ t内，内力虚功 外力虚功：

V

t t

ij ( ij)dV

ep

V

t t

F ( ui)dV

S

t t

Ti ( ui)dS

V

Dijkl kl ( ij)dV ij ( ij)dV

V

t

V

t

F ( ui)dV

T

S

t

Ti ( ui)dS

T

F ( u)dV

i

V

T

t

T

S

i

( ui)dS

写成矩阵形式：

T

t

V

V

[ ][D][ ]dV [ u][ F]dV

V

Tep

[ u]

S

[ T]dS [ ][ ]dV

V

[ u][F]dV

S

[ u][T]dS

T

t

离散化： 令

u [N][ a] [ u] [ a][N]

e

T

e

T

，

[B][ a] [ ] [ a][B]

eTeT

代入上式可得：

V

e

ep

[B][D][B]dV[ a] [N][ F]dV

V

e

t t

t

TepeT

S

[N][ T]dS [B][ ]dV [N][F]dV

V

V

TTtT

t

S

[N][T]dS

T

t

[K][ a] [ Q] [

Ql] [Qi]

[K

e

ep

]

由上式可以得到单元的切线刚度矩阵：

V

[B][D

Tep

][B]dV