适合非线性有限元学习及作业~

3．状态非线性：除以上两种非线性问题之外，还有一种非线性问题，即由于系统刚度和边界条件的性质随物体的运动发生变化所引起的非线性响应。例如，一根只能拉伸的钢索可能是松散的,也可能是绷紧的；轴承套可能是接触的,也可能是不接触的； 冻土可能是冻结的,也可能是融化的。这些系统的刚度和边界条件由于系统状态的改变在不同的值之间突然变化。状态改变也许和载荷直接有关，也可能由某种外部原因引起。最为典型的就是接触问题，接触是状态非线性类型中一个特殊而重要的子集。通常情况下，状态非线性问题可以在上述材料非线性和几何非线性类型中的每一种同时出现，从而使得问题的分析变得更为复杂。

2 非线性问题的求解特点

2. 1 非线性分析的基本问题

非线性分析的基本问题是求出在当前荷载作用下的平衡状态。如果作用的荷载被描述成时间的函数，则物体有限元离散系统的平衡方程可以表示为：

t

R t F 0 (2.1)

t

t

R 其中，矢量由t时刻外荷载的结点力分量所构成，而矢量 F 则表示t时刻

的单元应力所引起的结点力分量。平衡方程(2.2)应针对t时刻的几何位形建立，并应计入所有的非线性效应。如果是动力分析，矢量 R 中还应当包括惯性力和阻尼力。

t

在求解非线性问题时，(2.2)式应在全部加载历史中成立。变量t的引入并不意味着一定是动力问题。在静力分析中，t不具有真实“时间”的含义，它的不同取值只是表示相应于不同位形的不同的荷载水平。但是，在动力分析或具有时间效应的静力分析中，变量t就有了它本来的“时间”的含义。 2. 2 非线性方程组的增量逐步解法

对于许多工程结构，我们所关心的常常是在特定的荷载水平下，或相应的时间物体中的应力和变形。实际问题根据其解法可以分为两大类型。第一类问题无需计算中间变形过程，可直接求解在给定荷载下的平衡位形。但是，如果问题的几何性质或材料性质与路径相关或与时间相关，即该问题依赖于变形历史，则中间变形过程的计算是不可缺少的，这就是第二类问题。从本质上来说，非线性问题是第二类问题。此时，