适合非线性有限元学习及作业~

往往采用增量分析的方法。

增量逐步解法的基本思想是：假定t时刻的解为已知，要求t＋Δt时刻的解，其中，Δt是适当选择的时间增量。在t＋Δt时刻，式(2.2)写成为：

t t

R t t F 0 (2.2)

这里，左上标表示为t＋Δt时刻的量。由于t时刻的解为已知，因此，可以写为：

t t

F t F F (2.3)

式中， F 表示t到t＋Δt时间间隔内，由于单元内应力增量所引起的结点力增量矢量。这一矢量可以近似表示为：

F t K U (2.4)

式中， K 为相应于t时刻材料和几何条件的切线刚度矩阵。 U 为Δt时间间隔

t

中的结点位移增量，现在它还是未知的。将式(2.4)和(2.5)代入式(2.3)中，得到：

t

K U t t R t F (2.5)

上式中只有位移增量 U 为未知，一旦解出，即可算得t＋Δt时刻的位移：

t t

U t U U (2.6)

t t

根据

U ，就容易算出t＋Δt时刻的应力及t t F ，t t K ，于是马上可以着

手下一步的计算。但要指出的是，式(2.5)是一个近似表达式，因此t＋Δt时刻的解也是近似的，如果急于求成的作下去，最终结果可能出现不可忽视的重大误差以致于达到荒谬的地步。解决这一困难的办法是以花费计算时间为代价，即在t到t＋Δt时步中进行足够次数的迭代，以保证最终的解获得足够的精度。 2. 3 引入修正Newton－Raphson迭代格式的增量逐步解法

现在更多采用的方法是在每一个荷载增量步中，使用Newton－Raphson迭代法或修正的Newton－Raphson迭代法。由于后者不需要每次迭代时都计算切线刚度矩阵，因此在实际中具有更广泛的应用。现对该方法做简单的介绍。

在t时刻到t＋Δt时刻的时步中，修正Newton－Raphson法的迭代公式可以表示