上海市晋元高级中学2007年高考数学备考复习（一轮复习） 赵建华

)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单

,如求某些非二次函数的最大值、最小值,

(A组)

1.在利用平均值不等式求最值时,一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件.即每项都是正数,积或和是定值,所有的项能同时相等;而“二定”这个条件是对不等式

进行巧妙分拆、组合、添加系数等使之能变成可用均值不等式的形式,倘若要多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性.

2.在应用定理解决实际问题时,要注意:

①先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; ②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; ③在定义域内,求出函数的最大值或最小值;

④正确写出答案.试题解法突出常规方法,淡化特殊技巧,一般以求最值的形式来设问. 例1.(2005福州质检一)若x 0,y 0且

38

1，则xy有 x

y

（ ）

AB

CD96

)

939

A．- B. C. D. -

2222

答案:A.

(-x)29-x)29解析:9-x=-(-x9-x -.

22

例3.(2005年福建,文5)下列结论正确的是( )

11

A.当x>0且x≠1时,lgx+2 B.当x>0时,x+ 2

lgx11

C.当x 2时2 D.当0<x 2时,x-

xx

81

【原题】(人教版《数学》第二册(上)第11页练习3)已知x≠0,当x取什么值时,x2+x2小?最小值是多少?

【探源】本考题是教材练习题的深化,主要考查利用基本不等式时“等号”成立的条件,

要求考生对基本不等式有深刻的理解.正确答案选B.

3.常用不等式有：

(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （1 222

（2）a、b、c R，a b c ab bc ca（当且仅当a b c时，取等号）；

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（3）若a b 0,m 0，则利用基本不等式比较大小 例4.若a b 1,P 小。

bb m （糖水的浓度问题）。 aa m

1

lga lgb ,R lga b，试比较P，Q。R的大22

lga lgb,Q

解： a b 1, lga lgb 0

1

lga lgb a lgb，即Q P 2

a ba b1

ab, lg lgab lga lgb ， R Q 又222

即R Q P

利用基本不等式证明不等式

例5.已知a,b,c R，求证a2 b2 b2 c2 c2 a2

2 a b c

a2 b2 a b 证明：

2 2 2

2

同理 c

2

2

b c , c2 a2 2 c a 22

三式相加得a2 b2 b2 c2 c2 a2

2 a b c

111

abc

(作业)已知a,b,c为不等正数，且abc=1，求证：a 证一： a,b,c为不等正数，且abc=1

c

a c

111111

111bcacab 1 1 1 bcacab222abc

证二： a,b,c为不等正数，且abc=1

111bc caba cabc ba

bc ac ab abc222 abc2 a2bc ab2c a c

111

abc

例4.如果正数a、b满足ab a b 3，则ab的取值范围是_________（答： 9, ）

所以a

c