上海市晋元高级中学2007年高考数学备考复习（一轮复习） 赵建华

4.应用不等式的关键是建立不等量关系,其建立途径主要有:

（1）利用几何、代数意义; （2）利用判别式;

（3）利用变量的有界性;

（4）利用函数的单调性;⑤利用均值不等式.

例5.已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v v0)，若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当v=12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度v0应为多少？ 分析：本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，中间体现了分类讨论这一重要的数学思想，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题中要重视。

解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1 kv2 当v=12时，y1=720

720 k 122得k=5

设全程燃料费为y，依题意有

2001000v264 64 y y1 1000 v 8 1000v 8 16 32000

v 8v 8v 8 v 8

8<v v0

所以当v 16时，v=16时全程燃料费最省 当v 16时，令t v 8 任取8 v1 v2 v0

则0 v1 8 8,0 v2 8 8

64

v 8

1

64

0

v1 8v2 8 64 t1 t2 v1 v2 1 0 v 8v 812

1000v 264

即t v 8 在 8,v 上为减函数，当v=v0时，y取最小值

v 8v 8

综合得：当v 16时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当v 16时，当v=v0